异步电机原始动态模型

异步电动机动态数学模型的性质

电磁耦合是机电能量转换的必要条件，电流与磁通的乘积产生转矩，转速与磁通的乘积得到感应电动势，直流电机、交流电机都是这样，但是因为结构不同，两者的表达式区别挺大。

他励式直流电动机的励磁绕组和电枢绕组互相独立，励磁电流和电枢电流可以分开单独控制，如果忽略电枢反应或者用补偿绕组，则励磁和电枢绕组各自产生的磁动势在空间差90度，没有交叉耦合。气隙磁通由励磁绕组产生，保持励磁电流恒定，就可以认为磁通不参与系统动态过程，因此可以只通过电枢电流来控制转矩。

在这种条件下，直流电动机的动态数学模型只有一个输入量：电枢电压，一个输出量：转速，可以用线性系统来描述，使用线性控制理论来分析和设计。

交流电机的数学模型不一样，主要原因：

• 异步电机变压变频调速需要恒压频比控制，电压频率两个输入量，输出量由转速和磁通（磁链）。因为异步电动机输入三相电源，磁通建立和转速变化同时进行，为了获得好的性能，磁通也要被控制才行。这就是个MIMO系统。

• DCM在基速下运行时，容易保持磁通恒定，可视为常数。异步电动机无法单独控制磁通，电流矢量和磁链矢量叉积产生转矩，转速与磁链矢量乘积产生感应电动势，这就有两个变量的乘积，这还没考虑磁路饱和，就已经是一个非线性系统了。

• 三相异步电动机定子三相绕组在空间互差120度，转自也可等效为互差120度的三相绕组，各绕组存在交叉耦合，存在电磁惯性，再考虑上机电惯性，转速转角积分关系，动态模型是一个高阶系统

综上，异步电动机是一个高阶、非线性、强耦合系统。

异步电动机的三相数学模型

作如下假设：

• 忽略空间谐波，三相绕组对称，空间互差120度，产生磁动势沿气隙按正弦规律分布

• 忽略磁路饱和，绕组自感互感恒定

• 忽略铁心损耗

• 不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响

绕线型和笼型都可以等效成三相绕线转子，并折算到定子侧。折算后定子和转子绕组匝数相等，电动机三相绕组联结方式可以是 $\triangle$或$\text{Y}$，最终等效为$\text{Y}$联结进行分析和设计。

三相异步电机的物理模型如下图，定子三相绕组为轴线ABC在空间上是固定的，转子绕组轴线abc以角速度$\omega$随转子旋转。

以A轴作为参考坐标轴，转子a轴和定子A轴的电角度$\theta$为空间角位移变量，规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则，建立动态模型。

异步电动机的动态模型由磁链方程、电压方程、转矩方程、运动方程组成，磁链和转矩为代数方程，电压和运动为微分方程。

磁链方程

磁链方程，异步电动机每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其他绕组对它的互感磁链之和，六个绕组的磁链表达式

$$\begin{bmatrix} \varPsi_A \\ \varPsi_B \\ \varPsi_C \\ \varPsi_a \\ \varPsi_b \\ \varPsi_c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{AA} & L_{AB} & L_{AC} & L_{Aa} & L_{Ab} & L_{Ac} \\ L_{BA} & L_{BB} & L_{BC} & L_{Ba} & L_{Bb} & L_{Bc} \\ L_{CA} & L_{CB} & L_{CC} & L_{Ca} & L_{Cb} & L_{Cc} \\ L_{aA} & L_{aB} & L_{aC} & L_{aa} & L_{ab} & L_{ac} \\ L_{bA} & L_{bB} & L_{bC} & L_{ba} & L_{bb} & L_{bc} \\ L_{cA} & L_{cB} & L_{cC} & L_{ca} & L_{cb} & L_{cc} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \\ i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{bmatrix}$$

或者写成

$\boldsymbol{\Psi} = \boldsymbol{Li}$

其中电感矩阵对角线是各绕组自感，其余各项为互感。定子各项漏磁通对应的定子漏感$L_{ls}$，转子各相漏磁通对应的转子漏感$L_{lr}$，由于绕组对称，漏感数值相等，还有互感$L_{ms}$和$L_{mr}$，总之全部考虑并且已经折算了，省略了'。

定子各相自感为

$L_{AA} = L_{BB} = L_{CC} = L_{ms} + L_{ls}$

转子各项自感为

$L_{aa} = L_{bb} = L_{cc} = L_{mr} + L_{lr}$

互感分为两类：定子三相之间的互感为定值；定子一相与转子一相之间的互感是角位移$\theta$的函数

可以使用分块矩阵表示磁链方程

$$\begin{bmatrix} \boldsymbol{\Psi_s} \\ \boldsymbol{\Psi_r} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{L_{ss}} & \boldsymbol{L_{sr}} \\ \boldsymbol{L_{rs}} & \boldsymbol{L_{rr}} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{i_s} \\ \boldsymbol{i_r} \\ \end{bmatrix}$$

电压方程

三相定子电压的平衡方程为

$$\left . \begin{matrix} u_A = i_A R_s + \frac{\text{d}\psi_A}{\text{d}t} \\ u_B = i_B R_s + \frac{\text{d}\psi_B}{\text{d}t} \\ u_C = i_C R_s + \frac{\text{d}\psi_C}{\text{d}t} \\ \end{matrix} \right \}$$

三相转子电压平衡方程为

$$\left . \begin{matrix} u_a = i_a R_r + \frac{\text{d}\psi_a}{\text{d}t} \\ u_b = i_b R_r + \frac{\text{d}\psi_b}{\text{d}t} \\ u_c = i_c R_r + \frac{\text{d}\psi_c}{\text{d}t} \\ \end{matrix} \right \}$$

写成矩阵形式

$$\begin{bmatrix} u_A \\ u_B \\ u_C \\ u_a \\ u_b \\ u_c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_s& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &R_s& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &R_s& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &R_r& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &R_r& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &R_r\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \\ i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{bmatrix} + \frac{\text{d}}{\text{d}t} \begin{bmatrix} \psi_A \\ \psi_B \\ \psi_C \\ \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \\ \end{bmatrix}$$

或者写成

$\boldsymbol{u} = \boldsymbol{Ri} + \frac{\text{d} \boldsymbol{\Psi}}{\text{d}t}$

如果把磁链方程也放进去

$\boldsymbol{u} = \boldsymbol{Ri} + \frac{\text{d} (\boldsymbol{Li})}{\text{d}t} = \boldsymbol{Ri} + \boldsymbol{L}\frac{\text{d}\boldsymbol{i}}{\text{d}t} + \frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}t}\boldsymbol{i} = \boldsymbol{Ri} + \boldsymbol{L}\frac{\text{d}\boldsymbol{i}}{\text{d}t} + \frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}\theta}\omega\boldsymbol{i}$

式中有两个随着时间变化的量，$\boldsymbol{L}\frac{\text{d}\boldsymbol{i}}{\text{d}t}$是由于电流变化引起的脉变电动势；$\frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}\theta}\omega\boldsymbol{i}$是由于定转子相对位置变化产生的旋转电动势。

转矩方程

根据机电能量转换原理，在线性电感条件下，磁场的储能$W_m$

机械角位移$\theta_m = \frac{\theta}{n_p}$，则电磁转矩

$T_e = \frac{\partial W_m'}{\partial \theta_m} = n_p \frac{\partial W_m'}{\partial \theta}$

把(1)式带进入有

\left . \begin{matrix} \psi_A + \psi_B + \psi_C &= 0 \ i_A + i_B + i_C &= 0 \ u_A + u_B + u_C &= 0 \end{matrix} \right }

$$转子物理量关系$$

\left . \begin{matrix} \psi_a + \psi_b + \psi_c &= 0 \ i_a + i_b + i_c &= 0 \ u_a + u_b + u_c &= 0 \end{matrix} \right }

\begin{bmatrix} i_\alpha \ i_\beta \ \end{bmatrix} = N \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \ i_B \ i_C \ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} i_A \ i_B \ i_C \ \end{bmatrix} = N \begin{bmatrix} 1 & 0 \ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_\alpha \ i_\beta \ \end{bmatrix}

$$考虑到还有一相多余，正反变换更简单的用一个二阶矩阵就可以表示出来$$

\begin{bmatrix} i_\alpha \ i_\beta \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \ i_B \ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} i_A \ i_B \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{\frac{2}{3}} & 0 \ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_\alpha \ i_\beta \ \end{bmatrix}

\left . \begin{array}{ll} i_d = i_\alpha \cos\varphi + i_\beta\sin\varphi \ i_q = -i_\alpha \sin\varphi + i_\beta\cos\varphi \ \end{array} \right }

$$写成矩阵形式$$

\begin{bmatrix} i_d \ i_q \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \ -\sin\varphi & \cos\varphi \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_\alpha \ i_\beta \ \end{bmatrix}

$$反变换为$$

\begin{bmatrix} i_\alpha \ i_\beta \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \ \sin\varphi & \cos\varphi \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d \ i_q \ \end{bmatrix}