异步电动机正交坐标系上的动态模型

前面准备工作做好了，左边变换的思路已经有了。

坐标变换可以把三相原始模型简化，按照从特殊到一半，先推导静止两相正交坐标系$\alpha\beta$，然后推广到旋转正交坐标系$dq$，运动方程和坐标系没有关系，因此就讨论电压方程、磁链方程、转矩方程。

静止两相坐标系下的动态模型

异步电动机定子绕组是静止的，只需要进行3/2变换，转子绕组是旋转的，需要通过3/2变换和旋转到静止的变化，才能变换到静止两相正交坐标系。

定子和转子的3/2变换

对定子三相绕组和旋转的转子三相绕组进行相同的3/2变换，变换后的定子两相正交坐标系$\alpha\beta$静止，而转子两相正交坐标系$\alpha'\beta'$以角速度$\omega$逆时针旋转

原始电压方程

$$\begin{bmatrix} u_A \\ u_B \\ u_C \\ u_a \\ u_b \\ u_c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_s& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &R_s& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &R_s& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &R_r& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &R_r& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &R_r\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \\ i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{bmatrix} + \frac{\text{d}}{\text{d}t} \begin{bmatrix} \psi_A \\ \psi_B \\ \psi_C \\ \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \\ \end{bmatrix}$$

变换后的电压方程

$$\begin{bmatrix} u_{s\alpha} \\ u_{s\beta} \\ u_{r\alpha'} \\ u_{r\beta'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_s& 0 & 0 & 0 \\ 0 &R_s& 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_r& 0 \\ 0 & 0 & 0 &R_r\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{s\alpha} \\ i_{s\beta} \\ i_{r\alpha'} \\ i_{r\beta'} \\ \end{bmatrix} + \frac{\text{d}}{\text{d}t} \begin{bmatrix} \psi_{s\alpha} \\ \psi_{s\beta} \\ \psi_{r\alpha'} \\ \psi_{r\beta'} \\ \end{bmatrix}$$

原始磁链方程

$$\begin{bmatrix} \varPsi_A \\ \varPsi_B \\ \varPsi_C \\ \varPsi_a \\ \varPsi_b \\ \varPsi_c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{AA} & L_{AB} & L_{AC} & L_{Aa} & L_{Ab} & L_{Ac} \\ L_{BA} & L_{BB} & L_{BC} & L_{Ba} & L_{Bb} & L_{Bc} \\ L_{CA} & L_{CB} & L_{CC} & L_{Ca} & L_{Cb} & L_{Cc} \\ L_{aA} & L_{aB} & L_{aC} & L_{aa} & L_{ab} & L_{ac} \\ L_{bA} & L_{bB} & L_{bC} & L_{ba} & L_{bb} & L_{bc} \\ L_{cA} & L_{cB} & L_{cC} & L_{ca} & L_{cb} & L_{cc} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \\ i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{bmatrix}$$

变换后磁链方程

$$\begin{bmatrix} \psi_{s\alpha} \\ \psi_{s\beta} \\ \psi_{r\alpha'} \\ \psi_{r\beta'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{s} & 0 & L_{m}\cos \theta & -L_{m}\sin\theta \\ 0 & L_{s} & L_{m}\sin \theta & L_{m}\cos \theta \\ L_{m}\cos \theta & L_{m}\sin\theta & L_{r} & 0 \\ -L_{m}\sin \theta & L_{m}\cos \theta & 0 & L_{r} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{s\alpha} \\ i_{s\beta} \\ i_{r\alpha'} \\ i_{r\beta'} \\ \end{bmatrix}$$

变换后的转矩方程：

$T_e = -n_p L_m [ (i_{s\alpha} i_{r\alpha'} + i_{s\beta} i_{r\beta'})\sin\theta + ( i_{s\alpha} i_{r\beta'} - i_{s\beta} i_{r\alpha'} )\cos\theta ]$

3/2变换把120°分布的三相绕组等效为互相垂直的两相绕组，消除了定子三相绕组之间、转子三相绕组之间的耦合。但是定子绕组和转子绕组之间仍然存在相对运动，因此互感矩阵仍然是一个变参数的非线性矩阵，输出转矩仍然是定转子电流及家教的函数。

3/2变换减少了状态变量的维数，简化了定子和转子的自感矩阵。

静止两相正交坐标系中的矩阵方程

对转子坐标系$\alpha'\beta'$做旋转变换（旋转正交坐标系到静止两相正交坐标系的变换），即将$\alpha'\beta'$坐标系顺时针旋转$\theta$，是其与定子$\alpha\beta$重合，且保持静止，用静止的两相转子绕组等效代替转动两相绕组。

旋转变换矩阵为

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix}$$

变换后的电压方程为

$$\begin{bmatrix} u_{s\alpha} \\ u_{s\beta} \\ u_{r\alpha} \\ u_{r\beta} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_s& 0 & 0 & 0 \\ 0 &R_s& 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_r& 0 \\ 0 & 0 & 0 &R_r\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{s\alpha} \\ i_{s\beta} \\ i_{r\alpha} \\ i_{r\beta} \\ \end{bmatrix} + \frac{\text{d}}{\text{d}t} \begin{bmatrix} \psi_{s\alpha} \\ \psi_{s\beta} \\ \psi_{r\alpha} \\ \psi_{r\beta} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega\psi_{r\beta} \\ -\omega\psi_{r\alpha} \\ \end{bmatrix}$$

磁链方程

$$\begin{bmatrix} \psi_{s\alpha} \\ \psi_{s\beta} \\ \psi_{r\alpha} \\ \psi_{r\beta} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_s & 0 & L_m & 0 \\ 0 & L_s & 0 & L_m\ \\ L_m & 0 & L_r & 0 \\ 0 & L_m & 0 & L_r \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{s\alpha} \\ i_{s\beta} \\ i_{r\alpha} \\ i_{r\beta} \\ \end{bmatrix}$$

转矩方程：

$T_e = n_p L_m ( i_{s\beta}i_{r\alpha} - i_{s\alpha}i_{r\beta} )$

旋转变换改变了定转子之间的耦合关系，消除了定转子绕组夹角对磁链和转矩的影响。

磁链方程是线性定常的方程，但是电压方程中引入了新的非线性因素，还没有改变非线性耦合的性质。

旋转正交坐标系中的动态数学模型

前面是将相对于定子旋转的转子坐标系$\alpha'\beta'$做旋转变换，得到了统一的坐标系$\alpha'\beta'$，这是旋转变换的一个特例。更广义的坐标旋转变换时对定子坐标系$\alpha\beta$和转子坐标系同时进行旋转变换，把他们变换到同一个旋转正交坐标系$dq$上，$dq$坐标系相对于定子的旋转角速度为$\omega_1$。

定子的变换矩阵为

$$\boldsymbol{C_{2s/2r}}(\varphi) = \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \\ \end{bmatrix}$$

转子的变换矩阵为

$$\boldsymbol{C_{2s/2r}}(\varphi-\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\varphi-\theta) & \sin(\varphi-\theta) \\ -\sin(\varphi-\theta) & \cos(\varphi-\theta) \\ \end{bmatrix}$$

在$dq$坐标系的电压方程为

$$\begin{bmatrix} u_{sd} \\ u_{sq} \\ u_{rd} \\ u_{rq} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_s& 0 & 0 & 0 \\ 0 &R_s& 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_r& 0 \\ 0 & 0 & 0 &R_r\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{sd} \\ i_{sq} \\ i_{rd} \\ i_{rq} \\ \end{bmatrix} + \frac{\text{d}}{\text{d}t} \begin{bmatrix} \psi_{sd} \\ \psi_{sq} \\ \psi_{rd} \\ \psi_{rq} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\omega_1 \psi_{sq} \\ \omega_1 \psi_{sd} \\ - (\omega_1 - \omega)\psi_{rq} \\ (\omega_1 - \omega)\psi_{rq} \\ \end{bmatrix}$$

磁链方程

$$\begin{bmatrix} \psi_{sd} \\ \psi_{sq} \\ \psi_{rd} \\ \psi_{rq} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_s & 0 & L_m & 0 \\ 0 & L_s & 0 & L_m\ \\ L_m & 0 & L_r & 0 \\ 0 & L_m & 0 & L_r \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{sd} \\ i_{sq} \\ i_{rd} \\ i_{rq} \\ \end{bmatrix}$$

转矩方程为

$T_e = n_p L_m ( i_{sq}i_{rd} - i_{sd}i_{rq} )$

旋转变换用旋转绕组代替原来静止的定子绕组，并使等效定子绕组和等效转子绕组重合，并且严格同步，等效后定转子绕组不存在相对运动，所以dq坐标系中的磁链方程和转矩方程与$\alpha\beta$坐标系中一样，但是电压方程的非线性耦合更严重了。

表面上看dq坐标系的数学模型还不如$\alpha\beta$的，但是其优点是增加了一个输入量$\omega_1$，为系统控制提供了可能性。磁场定向控制就是通过选择$\omega_1$实现的。

旋转速度任意的正交坐标系无实际实用意义，常用的是同步旋转坐标系，将绕组中的交流量变为直流量，模拟直流电动机进行控制。

状态方程

经典控制理论里对于单入单出可以使用传递函数来描述一个系统，前面直流电机控制是基于传递函数在分析。对于交流电机，需要使用现代一点的控制理论了，需要基于状态空间的控制系统分析和设计。首先要已经上述微分和代数方程写处状态空间表达式。

写状态空间表达式的第一个问题是状态变量的选取。旋转正交坐标系($dq$坐标系)上的异步电机有四阶电压方程和一阶运动方程，因此需要选择5个状态变量来描述系统。

可选的状态变量有9个，分为五种：

• 1.转速$\omega$

• 2.定子电流$i_{sd}$和$i_{sq}$

• 3.转子电流$i_{rd}$和$i_{rq}$

• 4.转子磁链$\psi_{sd}$和$\psi_{sq}$

• 5.定子磁链$\psi_{rd}$和$\psi_{rq}$

转速作为输出量必须得选，定子电流可以直接检测到也选。剩下的三组检测就很困难，考虑到磁通恒定一直是我们控制电机很关心的问题，可以在定子磁链和转子磁链任选一组。

这样状态变量的选取就有两种方式

\left.\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\frac{n_{\mathrm{p}}^{2} L_{\mathrm{m}}}{J L_{\mathrm{r}}}\left(i_{\mathrm{sq}} \psi_{\mathrm{rd}}-i_{\mathrm{sd}} \psi_{\mathrm{rq}}\right)-\frac{n_{\mathrm{p}}}{J} T_{\mathrm{L}} \ \frac{\mathrm{d} \psi_{\mathrm{rd}}}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{T_{\mathrm{r}}} \psi_{\mathrm{rd}}+\left(\omega_{1}-\omega\right) \psi_{\mathrm{rq}}+\frac{L_{\mathrm{m}}}{T_{\mathrm{r}}} i_{\mathrm{sd}} \ \frac{\mathrm{d} \psi_{\mathrm{rq}}}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{T_{\mathrm{r}}} \psi_{\mathrm{rq}}-\left(\omega_{1}-\omega\right) \psi_{\mathrm{rd}}+\frac{L_{\mathrm{m}}}{T_{\mathrm{r}}} i_{\mathrm{sq}} \ \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{sd}}}{\mathrm{d} t}=\frac{L_{\mathrm{m}}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}} T_{\mathrm{r}}} \psi_{\mathrm{rd}}+\frac{L_{\mathrm{m}}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}} \omega \psi_{\mathrm{rq}}-\frac{R_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}^{2}+R_{\mathrm{r}} L_{\mathrm{m}}^{2}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}^{2}} i_{\mathrm{sd}}+\omega_{1} i_{\mathrm{sq}}+\frac{u_{\mathrm{sd}}}{\sigma L_{\mathrm{s}}} \ \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{sq}}}{\mathrm{d} t}=\frac{L_{\mathrm{m}}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}} T_{\mathrm{r}}} \psi_{\mathrm{rq}}-\frac{L_{\mathrm{m}}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}} \omega \psi_{\mathrm{rd}}-\frac{R_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}^{2}+R_{\mathrm{r}} L_{\mathrm{m}}^{2}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}^{2}} i_{\mathrm{sq}}-\omega_{1} i_{\mathrm{sd}}+\frac{u_{\mathrm{sq}}}{\sigma L_{\mathrm{s}}} \end{array}\right}

\left.\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\frac{n_{\mathrm{p}}^{2}}{J}\left(i_{\mathrm{sq}} \psi_{\mathrm{sd}}-i_{\mathrm{sd}} \psi_{\mathrm{sq}}\right)-\frac{n_{\mathrm{p}}}{J} T_{\mathrm{L}} \ \frac{\mathrm{d} \psi_{\mathrm{sd}}}{\mathrm{d} t}=-R_{\mathrm{s}} i_{\mathrm{sd}}+\omega_{1} \psi_{\mathrm{sq}}+u_{\mathrm{sd}} \ \frac{\mathrm{d} \psi_{\mathrm{sq}}}{\mathrm{d} t}=-R_{\mathrm{s}} i_{\mathrm{sq}}-\omega_{1} \psi_{\mathrm{sd}}+u_{\mathrm{sq}} \ \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{sd}}}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\sigma L_{\mathrm{s}} T_{\mathrm{r}}} \psi_{\mathrm{sd}}+\frac{1}{\sigma L_{\mathrm{s}}} \omega \psi_{\mathrm{sq}}-\frac{R_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}+R_{\mathrm{r}} L_{\mathrm{s}}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}} i_{\mathrm{sd}}+\left(\omega_{1}-\omega\right) i_{\mathrm{sq}}+\frac{u_{\mathrm{sd}}}{\sigma L_{\mathrm{s}}} \ \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{sq}}}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\sigma L_{\mathrm{s}} T_{\mathrm{r}}} \psi_{\mathrm{sq}}-\frac{1}{\sigma L_{\mathrm{s}}} \omega \psi_{\mathrm{sd}}-\frac{R_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}+R_{\mathrm{r}} L_{\mathrm{s}}}{\sigma L_{\mathrm{s}} L_{\mathrm{r}}} i_{\mathrm{sq}}-\left(\omega_{1}-\omega\right) i_{\mathrm{sd}}+\frac{u_{\mathrm{sq}}}{\sigma L_{\mathrm{s}}} \end{array}\right}